Familias de escalas: escalas heptatónicas organizadas por semitonos en su grafía interválica (Música, Teoría, Escalas, Modos, Intervalos)

Ricardo J Rademacher preguntó.
preguntó.

Consideremos que una nota es un conjunto de frecuencias, un modo un conjunto de siete notas y una escala un conjunto de siete modos. Así, C es una colección de frecuencias, CDEFGAB una colección de notas, el modo jónico, y sus siete permutaciones cíclicas forman una colección llamada escala mayor.

Ahora, consideremos una familia de escalas como una colección de escalas que tienen el mismo número de semitonos en su grafía. Utilizando esta definición, obtenemos las siguientes familias:

  • Escala de pasos (3 miembros): dos m2 y cinco M2.
  • Escala de saltos (20 miembros): tres m2, tres M2 y un m3.
  • Escala de doble salto (15 miembros): cuatro m2, un M2 y dos m3.

Así pues, estas son las 38 escalas y los 266 modos que se pueden construir utilizando más de un m3 en su grafía interválica. Este método, sin embargo, permite ampliar fácilmente estas otras familias con intervalos mayores que un m3:

  • Escala mayor de cuatro pasos (15 miembros): cuatro m2, dos M2 y un M3.
  • Escala mayor de cinco pasos (6 miembros): cinco m2, un m3 y un M3.
  • Escala Tritón (1 miembro): seis m2 y un TT.

Y aunque no es heptatónica, para completar todas las posibles grafías de medio paso, debemos incluir

  • Escala Dodecatónica (1 miembro): doce m2.

Por lo tanto, el número total de escalas heptatónicas posibles es de 60, abarcando un total de 420 modos.

¿Puede alguien verificar estos resultados por mí e idealmente indicarme una revista o un libro que haya organizado las escalas siguiendo principios similares, es decir, estableciendo familias de escalas aunque no se llamen así?

Comentarios

  • ¿la combinación que se llama escala de salto no tendría que ser de tres m2, tres M2, y un m3, para sumar 12 medios tonos? –  > Por José David.
  • ¿y por qué considerar las combinaciones heptatónicas y dodecatónicas, pero no el número intermedio de notas (por ejemplo, octatónica – 4 m2 y 4 M2, etc.)? –  > Por José David.
  • Gracias por detectarlo; arreglado. Estoy trabajando desde la perspectiva de la teoría de grupos. En ella, la dodecatónica es la escala madre y la heptatónica la escala hija; la octotónica y otras escalas tónicas son «primas» pero no forman parte de esta investigación «geneológica».  > Por Ricardo J Rademacher.
2 respuestas
Ricardo

No me siento cómodo verificando los resultados, simplemente porque no estoy tan bien formado como matemático y me sentiría más cómodo yendo por ese camino para verificar algo con tantas permutaciones.

Sin embargo, aquí hay algunas fuentes estupendas en el campo de la teoría musical que deberías consultar:

  • Carey, Norman y Clampitt, David (1989). «Aspects of Well-Formed Scales», Music Theory Spectrum 29: 249-70.
  • Clough, John (1979). «Aspects of Diatonic Sets», Journal of Music Theory 23:45-61.
  • Clough, John y Douthett, Jack (1991). «Maximally Even Sets», Journal of Music Theory 35: 93-173.
  • Rahn, Jay (1977), «Some Recurrent Features of Scales», In Theory Only 2, nº 11-12: 43-52.

Todas estas son lecturas necesarias para el estudio de la teoría de las escalas. (Recomiendo empezar con el artículo de Clough/Douthett de 1991, que es probablemente el más famoso). También querrá familiarizarse con conceptos como la propiedad de Myhill, y la propiedad de la escala profunda, y la noción de que cardinalidad es igual a variedad.

¡Diviértete!

Comentarios

  • Gracias Richard. Estoy familiarizado con todos estos trabajos. «Mis» familias no se basan en ninguna propiedad de la teoría de conjuntos ni pretenden catalogar todas las combinaciones posibles de notas; sólo catalogan las combinaciones posibles de siete intervalos que suman 12 semitonos. Una característica notable de «mi» jerarquía es que pone 2212221 en un extremo del espectro y 611111 en el otro; si hubiera jerarquías similares, tendrían puntos finales similares y aún no los he encontrado. Pero no me gustaría atribuirme el mérito de «mi» jerarquía si, de hecho, se ha organizado así antes. –  > Por Ricardo J Rademacher.
  • @RicardoJRademacher ¡Lo tengo; parece un proyecto interesante! No se me ocurre ningún sistema como el que describes, pero tal vez quieras consultar la noción de «análisis químico» de Howard Hanson en su Materiales armónicos de la música moderna de 1960. Trata de acordes, no de escalas, pero es un enfoque vagamente similar. (Sólo lo menciono como algo que deberías conocer, no porque se solape con tu trabajo). –  > Por Richard.
  • Un consejo fantástico, ¡gracias! Estoy mirando más de cerca a Hanson (no me había topado mucho con él), pero al igual que otros comparten la filosofía de incluir escalas no heptatónicas en su modelo de organización, donde yo me centro en las escalas heptatónicas a partir de las dodecatónicas exclusivamente. –  > Por Ricardo J Rademacher.
  • Si bien lo expuesto anteriormente se refiere al número y valor de cada intervalo en su ortografía, no especificó cómo se organizan esos intervalos. Al hacerlo, se forman «subfamilias». Así, por ejemplo, las escalas de salto tienen 20 miembros. Pero esto se organiza en 4 subfamilias y, aquí está la parte interesante, ¡parece que en la música occidental convencional hemos escogido sólo UNA escala de cada subfamilia y no tenemos en cuenta el resto! Estas subfamilias son: Menor armónica (6 miembros), Mayor armónica (6 miembros), Menor napolitana (6 miembros) y Mayor húngara (2 miembros). –  > Por Ricardo J Rademacher.
Galaxia

Hace poco me interesé por el número de escalas heptatónicas diferentes y su clasificación también.

Al parecer, faltan un cinco m2, una M2 y una P4 (cuarta perfecta) con 6 miembros. Esto suma un total de 66 escalas heptatónicas.

El resultado anterior puede verificarse con algo de combinatoria. El razonamiento puede ser el siguiente: hay 12!/(¡5!7!) = 792 formas posibles de elegir 7 notas de entre 12 notas de la escala cromática. Por supuesto, algunas de ellas son iguales hasta la permutación cíclica. De hecho, la permutación cíclica a 1, 2, .., 12 posiciones de cualquier elección particular forma una colección de longitud 12 (se puede demostrar que todas las permutaciones cíclicas de cualquier elección son distintas entre sí debido a que 7 y 12 son coprimos). Así que estas 792 formas se descomponen en 792/12 = 66 colecciones.